微分積分例

$2 y d x + (3 y - 2 x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 1.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1$

ステップ 1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

ステップ 2

$N (x, y) = 3 y - 2 x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y - 2 x]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $3 y - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.2.2

$3 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2$

ステップ 2.4

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 = - 2$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 = - 2$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$- 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 2 - 2}{M}$

ステップ 4.3

$2 y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 2 - 2}{2 y}$

ステップ 4.3.2

$- 2 - 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1 - 2}{2 y}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}{2 y}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ を $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot (- 1 - 1)}{2 y}$

ステップ 4.3.2.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot (- 1 - 1)}{2 (y)}$

ステップ 4.3.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot (- 1 - 1)}{2 y}$

ステップ 4.3.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1 - 1}{y}$

ステップ 4.3.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{y}$

ステップ 4.3.4

$2 y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 6

$2 y d x + (3 y - 2 x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$2 y$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$2 y \frac{1}{y^{2}} d x + (3 y - 2 x) d y = 0$

ステップ 6.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$y \cdot 2 \frac{1}{y^{2}} d x + (3 y - 2 x) d y = 0$

ステップ 6.2.2

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y \cdot 2 \frac{1}{y \cdot y} d x + (3 y - 2 x) d y = 0$

ステップ 6.2.3

共通因数を約分します。

$y \cdot 2 \frac{1}{y \cdot y} d x + (3 y - 2 x) d y = 0$

ステップ 6.2.4

式を書き換えます。

$2 \frac{1}{y} d x + (3 y - 2 x) d y = 0$

ステップ 6.3

$2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{2}{y} d x + (3 y - 2 x) d y = 0$

ステップ 6.4

$3 y - 2 x$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2}{y} d x + (3 y - 2 x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.5

$3 y - 2 x$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2}{y} d x + \frac{3 y - 2 x}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{2}{y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{2}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{2}{y} x + C$

ステップ 8.2

$\frac{2}{y}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{2 x}{y} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{2 x}{y} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x}{y} + g (y)] = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{2 x}{y} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{2 x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{2 x}{y}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$2 x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- 2 x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$x \frac{- 2}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.5.2.2

$x$ と $\frac{- 2}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot - 2}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.5.2.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 \cdot x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.5.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{2}} = \frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{3 y - 2 x}{y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{2}} - \frac{3 y - 2 x}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x - (3 y - 2 x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x - (3 y) - (- 2 x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x - 3 y - (- 2 x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x - 3 y + 2 x}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$- 2 x - 3 y + 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y + 0}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- 3 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1.1

$y$ を $- 3 y$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 3}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 3}{y \cdot y} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 3}{y \cdot y} = 0$

ステップ 12.1.1.5.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3}{y} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{3}{y} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $\frac{3}{y}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{3}{y}$

ステップ 13

$\frac{3}{y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{3}{y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{3}{y} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int \frac{3}{y} d y$

ステップ 13.3

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 3 \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 13.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$g (y) = 3 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 13.5

簡約します。

$g (y) = 3 \ln (| y |) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{2 x}{y} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{2 x}{y} + 3 \ln (| y |) + C$

ステップ 15

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| y |)$ を簡約します。

$f (x, y) = \frac{2 x}{y} + \ln ({| y |}^{3}) + C$

微分積分 例

微分積分例