微分積分例

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

ステップ 1

$v = y^{3}$ とします。 $v$ を $y^{3}$ に代入します。

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

ステップ 2

$y^{3}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

ステップ 3

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

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ステップ 3.1

$3 y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

ステップ 3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

ステップ 4

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 4.1

$v$ を $\frac{v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

ステップ 4.2

$v$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

ステップ 5

$P (x) = \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 5.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 5.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 5.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 6

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

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ステップ 6.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{x}$ と $v$ をまとめます。

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

ステップ 6.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

ステップ 6.2.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

ステップ 6.3

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

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ステップ 6.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

ステップ 6.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

ステップ 6.3.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

ステップ 7

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

ステップ 8

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

ステップ 9

左辺を積分します。

$x v = \int x^{5} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

ステップ 11

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.1

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 11.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 11.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.3.1.1

$x^{6}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1.1.1

$x$ を $\frac{1}{6} x^{6}$ で因数分解します。

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 11.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 11.3.1.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 11.3.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 11.3.1.1.2.4

式を書き換えます。

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

ステップ 11.3.1.1.2.5

$\frac{1}{6} x^{5}$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

ステップ 11.3.1.2

$\frac{1}{6}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

ステップ 12

$v$ のすべての発生を $y^{3}$ で置き換えます。

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

ステップ 13

$y$ について解きます。

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ステップ 13.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

ステップ 13.2

$\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\frac{x^{5}}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

ステップ 13.2.2

$\frac{C}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

ステップ 13.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6 x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 13.2.3.1

$\frac{x^{5}}{6}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

ステップ 13.2.3.2

$\frac{C}{x}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

ステップ 13.2.3.3

$x \cdot 6$ の因数を並べ替えます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

ステップ 13.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

ステップ 13.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.5.1

指数を足して $x^{5}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 13.2.5.1.1

$x^{5}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 13.2.5.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

ステップ 13.2.5.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

ステップ 13.2.5.1.2

$5$ と $1$ をたし算します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

ステップ 13.2.5.2

$6$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

ステップ 13.2.6

$\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ を $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

ステップ 13.2.7

$\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

ステップ 13.2.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 13.2.8.1

$\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

ステップ 13.2.8.2

$\sqrt[3]{6 x}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

ステップ 13.2.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

ステップ 13.2.8.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

ステップ 13.2.8.5

${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ を $6 x$ に書き換えます。

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ステップ 13.2.8.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{6 x}$ を ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 13.2.8.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 13.2.8.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 13.2.8.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.8.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 13.2.8.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

ステップ 13.2.8.5.5

簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

ステップ 13.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.9.1

${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

ステップ 13.2.9.2

積の法則を $6 x$ に当てはめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

ステップ 13.2.9.3

$6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

ステップ 13.2.10

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

ステップ 13.2.11

$\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

ステップ 14

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$

微分積分 例

微分積分例