微分積分例

$x y^{2} d x + e^{x} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x y^{2} d x$ を引きます。

$e^{x} d y = - x y^{2} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{e^{x} y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$e^{x}$ を $e^{x} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{x} (y^{2})} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

ステップ 3.3

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{e^{x} y^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

ステップ 3.3.2

$y^{2}$ を $e^{x} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (x y^{2}) d x$

ステップ 3.3.3

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

ステップ 3.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

ステップ 3.3.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

ステップ 3.4

$\frac{- 1}{e^{x}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

ステップ 4.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

ステップ 4.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

ステップ 4.2.2

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

ステップ 4.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{y} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

ステップ 4.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$e^{x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.2.2

${(e^{x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

ステップ 4.3.2.2.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- x} d x$

ステップ 4.3.3

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

ステップ 4.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

ステップ 4.3.5.2

$\int e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

ステップ 4.3.6

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.6.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.6.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.3.6.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.6.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.3.6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

ステップ 4.3.7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

ステップ 4.3.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

ステップ 4.3.9

$- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ を $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

ステップ 4.3.10

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

ステップ 4.3.11

簡約します。

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ステップ 4.3.11.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

ステップ 4.3.11.2

$- (- x e^{- x})$ を掛けます。

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ステップ 4.3.11.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

ステップ 4.3.11.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{2}$

ステップ 4.3.11.3

$- - e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{2}$

ステップ 4.3.11.3.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{2}$

ステップ 4.3.12

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1, 1$

ステップ 5.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 5.2

$- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ の各項に $y$ を掛けます。

$- \frac{1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

ステップ 5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

ステップ 5.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$

ステップ 5.3

方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式を $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$ として書き換えます。

$x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$

ステップ 5.3.2

$y$ を $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$y$ を $x y e^{- x}$ で因数分解します。

$y (x e^{- x}) + y e^{- x} + K y = - 1$

ステップ 5.3.2.2

$y$ を $y e^{- x}$ で因数分解します。

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + K y = - 1$

ステップ 5.3.2.3

$y$ を $K y$ で因数分解します。

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + y K = - 1$

ステップ 5.3.2.4

$y$ を $y (x e^{- x}) + y (e^{- x})$ で因数分解します。

$y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K = - 1$

ステップ 5.3.2.5

$y$ を $y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K$ で因数分解します。

$y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$

ステップ 5.3.3

$y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ の各項を $x e^{- x} + e^{- x} + K$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ の各項を $x e^{- x} + e^{- x} + K$ で割ります。

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$x e^{- x} + e^{- x} + K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

ステップ 5.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

微分積分 例

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