微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}$

ステップ 1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x e^{x} + 6 x^{2}$

ステップ 1.2

項を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

ステップ 2

方程式の左辺は項 $x y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 2.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 2.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 2.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$x y = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

単一積分を複数積分に分割します。

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

ステップ 6.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

ステップ 6.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 e^{x} x d x$

ステップ 6.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int e^{x} x d x$

ステップ 6.5

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

ステップ 6.6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

ステップ 6.7

簡約します。

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ステップ 6.7.1

簡約します。

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

ステップ 6.7.2

簡約します。

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ステップ 6.7.2.1

$6$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

ステップ 6.7.2.2

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

ステップ 6.7.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

ステップ 6.7.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

ステップ 6.7.2.2.2.3

式を書き換えます。

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

ステップ 6.7.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

ステップ 7

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.1.2.5

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2

$e^{x}$ を $x e^{x} - e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 7.3.1.2.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x + e^{x} \cdot - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} (x - 1))}{x} + \frac{C}{x}$

$y = 2 x^{2} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.2

$2 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \frac{2 x^{2} x}{x} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

ステップ 7.3.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.3.5.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

ステップ 7.3.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 7.3.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

ステップ 7.3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

ステップ 7.3.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

ステップ 7.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.6.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x + 2 e^{x} \cdot - 1 + C}{x}$

ステップ 7.3.6.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$

ステップ 7.3.7

$\frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{x}$

微分積分 例

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