微分積分例

$d x - x^{2} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $d x$ を引きます。

$- x^{2} d y = - d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} (- x^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$- 1 d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ と $- 1$ をまとめます。

$- 1 d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

ステップ 3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- 1 d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

定数の法則を当てはめます。

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.3.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- y + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- y + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- y + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$- y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

ステップ 4.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$- (- x^{- 1} + C_{2})$ を $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ に書き換えます。

$- y + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 4.3.4.2

簡約します。

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ステップ 4.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- y + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 4.3.4.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$- y + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- y = \frac{1}{x} + K$

ステップ 5

$- y = \frac{1}{x} + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- y = \frac{1}{x} + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{1}{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{1}{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$\frac{\frac{1}{x}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot \frac{1}{x} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{1}{x}$ を $- \frac{1}{x}$ に書き換えます。

$y = - \frac{1}{x} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - \frac{1}{x} - 1 \cdot K$

ステップ 5.3.1.4

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$y = - \frac{1}{x} - K$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{1}{x} + K$

微分積分 例

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