微分積分例

$(16 x y - 3 x^{2}) d x + (8 x^{2} + 2 y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 16 x y - 3 x^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [16 x y - 3 x^{2}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $16 x y - 3 x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [16 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [16 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [16 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$16 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $16 x y$ の微分係数は $16 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 16 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 16 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2}]$

ステップ 1.3.3

$16$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 16 x + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2}]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$- 3 x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3 x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 16 x + 0$

ステップ 1.4.2

$16 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 16 x$

ステップ 2

$N (x, y) = 8 x^{2} + 2 y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 2 y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $8 x^{2} + 2 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 16 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$2 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 16 x + 0$

ステップ 2.4.2

$16 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 16 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$16 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $16 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$16 x = 16 x$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$16 x = 16 x$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 16 x y - 3 x^{2} d x$

ステップ 5

$M (x, y) = 16 x y - 3 x^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 16 x y d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 5.2

$16 y$ は $x$ に対して定数なので、 $16 y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 16 y \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 16 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 5.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 16 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

ステップ 5.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = 16 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = 16 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 5.7

簡約します。

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ステップ 5.7.1

$16$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{16}{2} y x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 5.7.2

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 8}{2} y x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 5.7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} y x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 5.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} y x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 5.7.2.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{8}{1} y x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 5.7.2.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = 8 y x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

ステップ 5.7.3

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = 8 y x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

ステップ 5.7.4

$- 3$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = 8 y x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

ステップ 5.7.5

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.5.1

$3$ を $- 3 x^{3}$ で因数分解します。

$f (x, y) = 8 y x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C$

ステップ 5.7.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (x, y) = 8 y x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C$

ステップ 5.7.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = 8 y x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

ステップ 5.7.5.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = 8 y x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C$

ステップ 5.7.5.2.4

$- x^{3}$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = 8 y x^{2} - x^{3} + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = 8 y x^{2} - x^{3} + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [8 y x^{2} - x^{3} + g (y)] = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 8.2

総和則では、 $8 y x^{2} - x^{3} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [8 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [8 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [8 y x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$8 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $8 y x^{2}$ の微分係数は $8 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$8 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 8.3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$8 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 8.4

$- x^{3}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$8 x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 8.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$8 x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 8.6

簡約します。

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ステップ 8.6.1

$8 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$8 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 8.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 8 x^{2} = 8 x^{2} + 2 y$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $8 x^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 8 x^{2} + 2 y - 8 x^{2}$

ステップ 9.1.2

$8 x^{2} + 2 y - 8 x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$8 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

ステップ 9.1.2.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

ステップ 10

$2 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 2 y d y$

ステップ 10.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int y d y$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

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ステップ 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

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ステップ 10.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (y) = 1 y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = 8 y x^{2} - x^{3} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = 8 y x^{2} - x^{3} + y^{2} + C$

微分積分 例

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