微分積分例

$x^{2} d x + y (x - 1) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2} d x$ を引きます。

$y (x - 1) d y = - x^{2} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{x - 1} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x - 1$ を $y (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$y d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y d y = - \frac{1}{x - 1} x^{2} d x$

ステップ 3.3

$x^{2}$ と $\frac{1}{x - 1}$ をまとめます。

$y d y = - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

ステップ 4.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

ステップ 4.3.2

$x^{2}$ を $x - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 4.3.2.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 4.3.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 4.3.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} - x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 4.3.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

ステップ 4.3.2.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

ステップ 4.3.2.7

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

ステップ 4.3.2.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

ステップ 4.3.2.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x - 1$ の符号をすべて変更します。

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

ステップ 4.3.2.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

ステップ 4.3.2.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 4.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

ステップ 4.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

ステップ 4.3.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

ステップ 4.3.7

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.3.7.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.3.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.3.7.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.3.7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.3.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 4.3.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \ln (| u |) + C_{4})$

ステップ 4.3.9

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.10

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.11.2

$\ln (| x - 1 |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2}) + C_{5}$

ステップ 4.3.11.3

$\ln (| x - 1 |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

ステップ 4.3.11.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

ステップ 4.3.11.5

$2$ を $\ln (| x - 1 |)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2}) + C_{5}$

ステップ 4.3.11.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + C_{5}$

ステップ 4.3.12

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

ステップ 4.3.13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C_{5}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.3.2

$2$ を $2 \ln (| x - 1 |)$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (\ln (| x - 1 |))) - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.3.3

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.3.4

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - 1 \ln (| x - 1 |) - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.4

$- 1 \ln (| x - 1 |)$ を $- \ln (| x - 1 |)$ に書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.5

$- \ln (| x - 1 |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.6

$- \ln (| x - 1 |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.7

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.1.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} - x + C)$

ステップ 5.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

ステップ 5.2.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

ステップ 5.2.2.1.3.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) + 2 (- x) + 2 C$

ステップ 5.2.2.1.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) - 2 x + 2 C$

ステップ 5.3

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| x - 1 |)$ を簡約します。

$y^{2} = - x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$

ステップ 5.5

$\pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x - 1 |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C}$

ステップ 5.5.2

因数分解した形で $- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

項を再分類します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} - 2 x + 2 C}$

ステップ 5.5.2.2

$- 1$ を $- x^{2} - 2 x + 2 C$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$- 2 x$ を移動させます。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} + 2 C - 2 x}$

ステップ 5.5.2.2.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) + 2 C - 2 x}$

ステップ 5.5.2.2.3

$- 1$ を $2 C$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - 2 x}$

ステップ 5.5.2.2.4

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - (2 x)}$

ステップ 5.5.2.2.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 C)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C) - (2 x)}$

ステップ 5.5.2.2.6

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 C) - (2 x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)}$

ステップ 5.5.2.3

$- 1$ を $- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

$- \ln ({(x - 1)}^{2})$ と $- (x^{2} - 2 C + 2 x)$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - \ln ({(x - 1)}^{2})}$

ステップ 5.5.2.3.2

$- 1$ を $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))}$

ステップ 5.5.2.3.3

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

ステップ 5.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

ステップ 5.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

ステップ 5.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

微分積分 例

微分積分例