微分積分例

$\arctan (- \frac{x}{2})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = - \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(- \frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を $- \frac{x}{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + {(- (\frac{x}{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $- (\frac{x}{2})$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{1 + 1 {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

ステップ 2.2.3

${(\frac{x}{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

ステップ 2.3

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.2

$2$ を $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

ステップ 2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 3.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 3.3.3

$2$ と $\frac{x^{2}}{4}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

ステップ 3.3.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

ステップ 3.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 3.4.2

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

ステップ 3.4.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{2}}$

ステップ 3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 \frac{2}{4 + x^{2}})$

ステップ 3.6

$\frac{2}{4 + x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{4 + x^{2}}$

微分積分 例

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