微分積分例

$y = - 7 x (8^{- 2 x})$

ステップ 1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x (8^{- 2 x})$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot (8^{- 2 x})]$ です。

$- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot (8^{- 2 x})]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 8^{- 2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 7 (x \frac{d}{d x} [8^{- 2 x}] + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = 8^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$- 7 (x (\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$a$ = $8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 7 (x (8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \cdot 1)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \cdot - 2) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.2

$- 2$ を $8^{- 2 x} \ln (8)$ の左に移動させます。

$- 7 (x (- 2 \cdot (8^{- 2 x} \ln (8))) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.3

負をくくり出します。

$- 7 (x (- (2 \cdot 8^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.4

式を簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$- 7 (x (- (2 \cdot {(2^{3})}^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.4.2

${(2^{3})}^{- 2 x}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{3 (- 2 x)}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.4.2.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{- 6 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \cdot 1)$

ステップ 7

$8^{- 2 x}$ に $1$ をかけます。

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8))) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

ステップ 8.2

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$7 x (2^{1 - 6 x} \ln (8)) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

ステップ 8.4

$7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$ の因数を並べ替えます。

$7 x \cdot 2^{1 - 6 x} \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

微分積分 例

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