微分積分例

$f (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x - 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{4}}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.3

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.4

$\frac{4}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.5.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$x^{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} - \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.4

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x^{3} + \frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.5

$\frac{- 3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.6

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} + \frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.3.6.2.4

$- x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} - x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{3} - x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} - x^{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.3

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{3} - x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.4

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{3} - x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.5.1

共通因数を約分します。

$x^{3} - x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.4.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x^{3} - x^{2} + x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} - x^{2} + x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.5.2

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{3} - x^{2} + x + 1 + 0$

ステップ 1.5.3

$x^{3} - x^{2} + x + 1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{3} - x^{2} + x + 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - x^{2} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 2 x + 1 + 0$

ステップ 2.3.3

$3 x^{2} - 2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $3 x^{2} - 2 x + 1$ です。

$3 x^{2} - 2 x + 1$

微分積分 例

微分積分例