微分積分例

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

ステップ 2

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 2.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

ステップ 2.2

右側を微分します。

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ステップ 2.2.1

$\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (e^{x} + x e^{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (e^{x} + x e^{x})$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

ステップ 2.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (e^{x} + x e^{x})$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e^{x} + x e^{x}$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

ステップ 2.2.3.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

ステップ 2.2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x} + x e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

ステップ 2.2.4

和の法則を使って微分します。

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ステップ 2.2.4.1

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$ に $\frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})}$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $e^{x} + x e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

ステップ 2.2.5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

ステップ 2.2.6

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.8

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.2.8.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 2.2.8.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.8.2.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

ステップ 2.2.8.2.2

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$

ステップ 2.2.9

簡約します。

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ステップ 2.2.9.1

$\frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.2

$e^{x}$ を $e^{x} + x e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.9.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.2.2

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + e^{x} x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.3

$x e^{x} + 2 e^{x}$ に $\frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.4

$e^{x}$ を $x e^{x} + 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.9.4.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.4.2

$e^{x}$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.4.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.5

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.9.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.5.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

ステップ 2.2.9.6

$\frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)}$

ステップ 3

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

ステップ 4

$\ln (e^{x} + x e^{x})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

微分積分 例

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