微分積分例

$\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

ステップ 2

$x^{3}$ を ${(x^{3})}^{1}$ に書き換えます。

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x$

ステップ 3

$u_{1} = x^{3}$ とします。次に $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = x^{3}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2}$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

$3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{1 + u_{1}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

ステップ 4.3

$3$ を $1 + u_{1}$ の左に移動させます。

$3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.3

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$1 + u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $1 + u_{1}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 7.1.3

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 7.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 7.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 9

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 9.1

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + u_{1}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

ステップ 9.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + x^{3} |) + C$

微分積分 例

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