微分積分例

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}$ で置き換えます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{- \frac{3}{5}}$ をまとめます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{- \frac{3}{5}}$ をまとめます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}]$

ステップ 2.2.2

累乗をゼロに上げます。

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ステップ 2.2.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{5}}$ を分母に移動させます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}]$

ステップ 2.2.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{5}}$ を分母に移動させます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}]$ です。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 2.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 8

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$ です。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}])$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ を ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}])$

ステップ 9.2

${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5} \cdot - 1}])$

ステップ 9.2.2

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 9.2.2.1

$\frac{3}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}])$

ステップ 9.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{5}}])$

ステップ 9.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{5}}])$

ステップ 10

$n = - \frac{3}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1}))$

ステップ 11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

ステップ 12

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

ステップ 13

公分母の分子をまとめます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}}))$

ステップ 14

分子を簡約します。

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ステップ 14.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 5}{5}}))$

ステップ 14.2

$- 3$ から $5$ を引きます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 8}{5}}))$

ステップ 15

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{8}{5}}))$

ステップ 16

$x^{- \frac{8}{5}}$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}))$

ステップ 17

$\frac{1}{5}$ に $\frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}$ をかけます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5 \cdot 5})$

ステップ 18

式を簡約します。

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ステップ 18.1

$5$ に $5$ をかけます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{25})$

ステップ 18.2

$3$ を $x^{- \frac{8}{5}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot x^{- \frac{8}{5}}}{25})$

ステップ 18.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{8}{5}}$ を分母に移動させます。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{25 x^{\frac{8}{5}}})$

微分積分 例

微分積分例