微分積分例

$y = {(\frac{x}{1 + x})}^{5}$

ステップ 1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = \frac{x}{1 + x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{1 + x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

ステップ 1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{1 + x}$ で置き換えます。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.2

$1 + x$ に $1$ をかけます。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.7

項を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.7.2

$x$ から $x$ を引きます。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.7.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 3.7.4

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} {(\frac{x}{1 + x})}^{4}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x}{1 + x}$ に当てはめます。

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}}$ に $\frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$ をかけます。

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2} {(1 + x)}^{4}}$

ステップ 4.2.2

指数を足して ${(1 + x)}^{2}$ に ${(1 + x)}^{4}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2 + 4}}$

ステップ 4.2.2.2

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{6}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$

微分積分 例

微分積分例