微分積分例

$\int \frac{1}{u \sqrt{3 - u^{2}}} d u$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u = \sqrt{3} \sin (t)$ とします。次に $d u = \sqrt{3} \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sqrt{3} \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

積の法則を $\sqrt{3} \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$1$ を掛けます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $- ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を ${\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.5

指数を求めます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

$3$ と $\cos^{2} (t)$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) (\cos (t) \sqrt{3})} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.5.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{3^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.5.5

指数を求めます。

$\int \frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.6

$\sqrt{3}$ と $\frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.2.7

$\frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)}$ と $\cos (t)$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

ステップ 2.2.8

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.8.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

ステップ 2.2.8.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t)} d t$

ステップ 3

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

ステップ 4

$\frac{1}{\sin (t)}$ を $\csc (t)$ に変換します。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \csc (t) d t$

ステップ 5

$\csc (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

ステップ 6

簡約します。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

ステップ 7

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) - \cot (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) |) + C$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) - \cot (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) |) + C$

微分積分 例

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