微分積分例

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

ステップ 1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$n (n + 1) (2 n + 1)$

ステップ 3.1.2

分配則を当てはめます。

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

ステップ 3.1.3

式を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$n$ に $n$ をかけます。

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

ステップ 3.1.3.2

$n$ に $1$ をかけます。

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $n^{2}$ に $n$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$n$ を移動させます。

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

ステップ 3.3.1.2.2

$n$ に $n^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.3.1.2.2.1

$n$ を $1$ 乗します。

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

ステップ 3.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

ステップ 3.3.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

ステップ 3.3.1.3

$n^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

ステップ 3.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

ステップ 3.3.1.5

指数を足して $n$ に $n$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$n$ を移動させます。

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

ステップ 3.3.1.5.2

$n$ に $n$ をかけます。

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

ステップ 3.3.1.6

$n$ に $1$ をかけます。

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

ステップ 3.3.2

$n^{2}$ と $2 n^{2}$ をたし算します。

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$

微分積分 例

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