微分積分例

$6 x^{3} \sqrt{x} \csc (x)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} x^{\frac{1}{2}} \csc (x)]$

ステップ 2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [6 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) \csc (x)]$

ステップ 2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3} \csc (x)]$

ステップ 2.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} \csc (x)]$

ステップ 2.4

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 6}{2}} \csc (x)]$

ステップ 2.6.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

ステップ 3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 (x^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

ステップ 5

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

ステップ 6

$n = \frac{7}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}))$

ステップ 10.2

$7$ から $2$ を引きます。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}))$

ステップ 11

$\frac{7}{2}$ と $x^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2})$

ステップ 12

$\csc (x)$ と $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ をまとめます。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2})$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

ステップ 13.2

項をまとめます。

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ステップ 13.2.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 (x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

ステップ 13.2.2

$6$ と $\frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$ をまとめます。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{6 (\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

ステップ 13.2.3

$7$ に $6$ をかけます。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{42 (\csc (x) (x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

ステップ 13.2.4

$2$ を $42 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2}$

ステップ 13.2.5

共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

ステップ 13.2.5.2

共通因数を約分します。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.5.3

式を書き換えます。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}}{1}$

ステップ 13.2.5.4

$21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ を $1$ で割ります。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + 21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} \cot (x) \csc (x) + 21 x^{\frac{5}{2}} \csc (x)$

微分積分 例

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