微分積分例

$\int x^{2} \arctan (x) d x$

ステップ 1

$u = \arctan (x)$ と $d v = x^{2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arctan (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\arctan (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

$\arctan (x)$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 4

$x^{3}$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

$x^{3}$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0 + x$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

ステップ 5.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 10

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 10.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 10.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 10.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 10.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

ステップ 11.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{2 u} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

ステップ 13

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

簡約します。

$\frac{1}{3} \arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

ステップ 14.2

簡約します。

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ステップ 14.2.1

$\frac{1}{3}$ と $\arctan (x)$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

ステップ 14.2.2

$\frac{\arctan (x)}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

ステップ 14.2.3

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot \frac{3}{3} + C$

ステップ 14.2.4

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |))$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 14.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 14.2.6

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |)) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 14.2.7

$\ln (| u |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 14.2.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\arctan (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

ステップ 14.2.9

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

ステップ 14.2.10

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.10.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

ステップ 14.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

ステップ 14.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

ステップ 14.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\arctan (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

ステップ 14.2.10.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{\arctan (x) x^{3} - (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| u |)}{2})}{3} + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{\arctan (x) x^{3} - (\frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2})}{3} + C$

ステップ 16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\arctan (x) x^{3} - \frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}}{3} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} (\arctan (x) x^{3} - \frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |))) + C$

微分積分 例

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