微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - 2) (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (3 x^{2} + 3)$ を展開します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2} + 3) - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.4

$3$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 6}{{(6 x + 4)}^{3}}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 3.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 3.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 5

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 7

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 9.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 9.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 9.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 9.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 9.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

ステップ 9.6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

ステップ 10

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 + 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 11.1.2

$- 6$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 + 0 + 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 11.1.3

$- 6$ に $0$ をかけます。

$\frac{3 + 0 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 11.1.4

$3 + 0 + 0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 11.1.5

$3 + 0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 11.1.6

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 11.2

分母を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{{(6 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

ステップ 11.2.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{3}{{(6 + 0)}^{3}}$

ステップ 11.2.3

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{6^{3}}$

ステップ 11.2.4

$6$ を $3$ 乗します。

$\frac{3}{216}$

ステップ 11.3

$3$ と $216$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (1)}{216}$

ステップ 11.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.2.1

$3$ を $216$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

ステップ 11.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

ステップ 11.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{72}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{72}$

10進法形式：

$0.013\overline{8}$

微分積分 例

微分積分例