微分積分例

$\log_{x} (2)$

ステップ 1

底の変換の公式を利用して $\log_{x} (2)$ を書き換えます。

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ステップ 1.1

$a$ と $b$ が0より大きく、1に等しくなく、かつ $x$ が0より大きい場合、底の変換の法則を使用することができます。

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

ステップ 1.2

$b = e$ を使用して、基数変更の公式の変数の値に代入します。

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2)}{\ln (x)}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\ln (2)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{\ln (2)}{\ln (x)}$ の微分係数は $\ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$ です。

$\ln (2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{\ln (x)}$ を $\ln^{- 1} (x)$ に書き換えます。

$\ln (2) \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

ステップ 3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (x)$ とします。

$\ln (2) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (2) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\ln (2) (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\ln (2) (- \ln^{- 2} (x) \frac{1}{x})$

ステップ 5

分数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x}$ と $\ln^{- 2} (x)$ をまとめます。

$\ln (2) (- \frac{\ln^{- 2} (x)}{x})$

ステップ 5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $\ln^{- 2} (x)$ を分母に移動させます。

$\ln (2) (- \frac{1}{x \ln^{2} (x)})$

ステップ 5.3

$\ln (2)$ と $\frac{1}{x \ln^{2} (x)}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (2)}{x \ln^{2} (x)}$

微分積分 例