微分積分例

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

ステップ 2

$u = - \frac{1}{x}$ とします。次に $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ すると、 $x^{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = - \frac{1}{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- \frac{1}{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.3

掛け算します。

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ステップ 2.1.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 2.1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.1.3.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x^{- 2} + 0$

ステップ 2.1.3.5.2

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{- 2}$

ステップ 2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$u = - \frac{1}{x}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1

共通因数を約分します。

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

ステップ 2.3.1.2

式を書き換えます。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 2.4

$u = - \frac{1}{x}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

ステップ 3

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

ステップ 4

$- \frac{1}{t}$ および $- 1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

極限を求めます。

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ステップ 5.1.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

ステップ 5.1.2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

ステップ 5.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{t}$ は $0$ に近づきます。

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

ステップ 5.3

極限を求めます。

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ステップ 5.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $e^{- 1}$ の極限値を求めます。

$e^{- 0} - e^{- 1}$

ステップ 5.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{0} - e^{- 1}$

ステップ 5.3.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 - e^{- 1}$

ステップ 5.3.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{e}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$1 - \frac{1}{e}$

10進法形式：

$0.63212055 \dots$

微分積分 例

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