微分積分例

$y = x^{x^{x}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x^{x}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{x^{x}}$ を $e^{\ln (x^{x^{x}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{x}})}]$

ステップ 3.1.2

$x^{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x^{x}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{x} \ln (x)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{x} \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{x} \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{x} \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{x^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{x} \ln (x)]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{x}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.5

項を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$x^{x}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.5.2

$x^{x}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1

$x$ を $x^{x}$ で因数分解します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.5.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.5.2.2.3

共通因数を約分します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{x - 1}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.5.2.2.4

式を書き換えます。

$e^{x^{x} \ln (x)} (\frac{x^{x - 1}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.5.2.2.5

$x^{x - 1}$ を $1$ で割ります。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

ステップ 3.6

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}])$

ステップ 3.6.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}])$

ステップ 3.7

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x \ln (x)$ とします。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

ステップ 3.7.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

ステップ 3.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]))$

ステップ 3.8

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 3.9

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 3.10

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.10.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 3.10.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.2.1

共通因数を約分します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 3.10.2.2

式を書き換えます。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 3.10.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)))$

ステップ 3.10.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))))$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

分配則を当てはめます。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

ステップ 3.11.2

分配則を当てはめます。

$e^{x^{x} \ln (x)} (x^{x - 1} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

ステップ 3.11.3

分配則を当てはめます。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

ステップ 3.11.4

項をまとめます。

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ステップ 3.11.4.1

$e^{x \ln (x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x \ln (x)}) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

ステップ 3.11.4.2

指数を足して $e^{x^{x} \ln (x)}$ に $e^{x \ln (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.11.4.2.1

$e^{x \ln (x)}$ を移動させます。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

ステップ 3.11.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)))$

ステップ 3.11.4.3

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)})$

ステップ 3.11.4.4

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)})$

ステップ 3.11.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} ({\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)})$

ステップ 3.11.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x^{x} \ln (x)} (\ln^{2} (x) e^{x \ln (x)})$

ステップ 3.11.4.7

指数を足して $e^{x^{x} \ln (x)}$ に $e^{x \ln (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.11.4.7.1

$e^{x \ln (x)}$ を移動させます。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)} e^{x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

ステップ 3.11.4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = e^{x^{x} \ln (x)} x^{x - 1} + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x) + x^{x} \ln (x)} \ln^{2} (x)$

微分積分 例

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