微分積分例

$f (x) = x^{2} + e^{x} - \cos (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} + e^{x} - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 x + e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 x + e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 x + e^{x} - - \sin (x)$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x + e^{x} + 1 \sin (x)$

ステップ 1.3.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 x + e^{x} + \sin (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x + e^{x} + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 + e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 2 + e^{x} + \cos (x)$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 + e^{x} + \cos (x)$ です。

$2 + e^{x} + \cos (x)$

微分積分 例

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