微分積分例

$y = {(1 + \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 1 + \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + \frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 + \frac{1}{x}$ で置き換えます。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $1 + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$0$ と $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ をたし算します。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

ステップ 2.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x^{2}} {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

ステップ 3.2.2

$\frac{- 3}{x^{2}}$ と ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{3 {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{3 {(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3

積の法則を $\frac{x + 1}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{3 \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

ステップ 3.4

$3$ と $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

ステップ 3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.6

まとめる。

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

ステップ 3.7

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

ステップ 3.7.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

ステップ 3.8

$3 {(x + 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例