微分積分例

${(2 y + 1)}^{3} - 24 x = - 3$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(2 y + 1)}^{3} - 24 x) = \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二項定理を利用します。

$\frac{d}{d x} [{(2 y)}^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2

和の法則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2^{3} y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2.1.3

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (2^{2} y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (4 y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2.1.5

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2.1.6

$12$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2.1.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1 + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2.1.9

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1^{3} - 24 x]$

ステップ 2.2.1.10

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x]$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 y^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.3.4

$3$ に $8$ をかけます。

$24 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 y^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$24 y^{2} y' + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$24 y^{2} y' + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 y^{2} y' + 12 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$24 y^{2} y' + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$24 y^{2} y' + 12 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.4.4

$2$ に $12$ をかけます。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [6 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 y$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.5.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

ステップ 2.7

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \cdot 1$

ステップ 2.7.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24$

ステップ 2.8

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ と $0$ をたし算します。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24$

ステップ 3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24 = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $24$ を足します。

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' = 24$

ステップ 5.2

$6 y'$ を $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$6 y'$ を $24 y^{2} y'$ で因数分解します。

$6 y' (4 y^{2}) + 24 y y' + 6 y' = 24$

ステップ 5.2.2

$6 y'$ を $24 y y'$ で因数分解します。

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' = 24$

ステップ 5.2.3

$6 y'$ を $6 y'$ で因数分解します。

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

ステップ 5.2.4

$6 y'$ を $6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y)$ で因数分解します。

$6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

ステップ 5.2.5

$6 y'$ を $6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1$ で因数分解します。

$6 y' (4 y^{2} + 4 y + 1) = 24$

ステップ 5.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$4 y^{2}$ を ${(2 y)}^{2}$ に書き換えます。

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1) = 24$

ステップ 5.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1^{2}) = 24$

ステップ 5.3.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

ステップ 5.3.4

多項式を書き換えます。

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}) = 24$

ステップ 5.3.5

$a = 2 y$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$

ステップ 5.4

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ の各項を $6 {(2 y + 1)}^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ の各項を $6 {(2 y + 1)}^{2}$ で割ります。

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2

${(2 y + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

$24$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1

$6$ を $24$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.2.1

$6$ を $6 {(2 y + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 ({(2 y + 1)}^{2})}$

ステップ 5.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例