微分積分例

$y = \arccos (\frac{1}{x})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arccos (\frac{1}{x}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\arccos (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2})$

ステップ 3.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

ステップ 3.2.3.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

ステップ 3.2.3.3

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$\frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$

ステップ 3.2.3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}}$

ステップ 3.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$

微分積分 例

微分積分例