微分積分例

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sin (t)$ とします。次に $d x = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ と $\cos (t)$ をまとめます。

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

ステップ 2.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

ステップ 2.2.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

ステップ 2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

ステップ 2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

ステップ 2.2.6

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ を $\cot^{2} (t)$ に変換します。

$\int \cot^{2} (t) d t$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cot^{2} (t)$ を $- 1 + \csc^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

ステップ 6

$- \cot (t)$ の微分係数が $\csc^{2} (t)$ なので、 $\csc^{2} (t)$ の積分は $- \cot (t)$ です。

$- t + C - \cot (t) + C$

ステップ 7

簡約します。

$- t - \cot (t) + C$

ステップ 8

$t$ のすべての発生を $\arcsin (x)$ で置き換えます。

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$

微分積分 例

微分積分例