微分積分例

$y = \sqrt{e^{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e^{x}}$ を $e^{\frac{x}{2}}$ に書き換えます。

$y = e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 4.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{\frac{x}{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1$

ステップ 4.2.4

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

微分積分 例