微分積分例

$\ln (| \cos (\frac{π}{x}) |)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | \cos (\frac{π}{x}) |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $| \cos (\frac{π}{x}) |$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $| \cos (\frac{π}{x}) |$ で置き換えます。

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

ステップ 2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = \cos (\frac{π}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (\frac{π}{x})$ とします。

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $| u_{2} |$ の微分係数は $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ です。

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (\frac{π}{x})$ で置き換えます。

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

ステップ 3

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ に $\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ をかけます。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) | | \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

ステップ 4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

ステップ 5

$\cos (\frac{π}{x})$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

ステップ 6

$\cos (\frac{π}{x})$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos^{1} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| {\cos (\frac{π}{x})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

ステップ 9

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{π}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\frac{π}{x}$ とします。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

ステップ 9.2

$u_{3}$ に関する $\cos (u_{3})$ の微分係数は $- \sin (u_{3})$ です。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

ステップ 9.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\frac{π}{x}$ で置き換えます。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

ステップ 10

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ と $\sin (\frac{π}{x})$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

ステップ 10.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π}{x}$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 10.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$π$ と $\frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ をまとめます。

$- \frac{π (\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}))}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 10.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 10.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- x^{- 2})$

ステップ 10.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

ステップ 10.5.2

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

ステップ 10.5.3

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}) x^{- 2}}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

ステップ 10.5.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) | x^{2}}$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

項を並べ替えます。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} | \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

ステップ 11.2

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

ステップ 11.3

$\cos (\frac{π}{x})$ と $\cos^{2} (\frac{π}{x})$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\cos (\frac{π}{x})$ を $π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})$ で因数分解します。

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

ステップ 11.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$\cos (\frac{π}{x})$ を $x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})$ で因数分解します。

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

ステップ 11.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

ステップ 11.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos (\frac{π}{x})}$

ステップ 11.4

分数を分解します。

$\frac{π}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$

ステップ 11.5

$\frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$ を $\tan (\frac{π}{x})$ に変換します。

$\frac{π}{x^{2}} \tan (\frac{π}{x})$

ステップ 11.6

$\frac{π}{x^{2}}$ と $\tan (\frac{π}{x})$ をまとめます。

$\frac{π \tan (\frac{π}{x})}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例