微分積分例

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \sec (t)$ とします。次に $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $2 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$4$ を $4 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ を ${(2 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2

$2 \sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

$2 \sec (t)$ を $2 \sec (t) \tan (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

ステップ 3

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

ステップ 7

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

ステップ 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

ステップ 11

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 12

$- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ と $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ をまとめます。

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{π}{3}$ および $0$ で $- t + \tan (t)$ の値を求めます。

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

ステップ 13.2.2

$0$ と $\tan (0)$ をたし算します。

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

ステップ 14.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

ステップ 14.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

ステップ 14.4

$- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ と $0$ をたし算します。

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分配則を当てはめます。

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

ステップ 15.2

$2 (- \frac{π}{3})$ を掛けます。

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ステップ 15.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 15.2.2

$- 2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 15.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

10進法形式：

$1.36970651 \dots$

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例