微分積分例

$\ln (1 + \frac{a}{x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + \frac{a}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 + \frac{a}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + \frac{a}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ です。

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

ステップ 2.4

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{a}{x}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.5

分数をまとめます。

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ステップ 2.5.1

$a$ と $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ をまとめます。

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.5.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.6

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.1

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}$

ステップ 2.7.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

ステップ 3.2.2

$\frac{a}{x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}$

ステップ 3.2.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

$x$ を $a x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}$

ステップ 3.2.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

ステップ 3.2.3.2.3

共通因数を約分します。

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

ステップ 3.2.3.2.4

式を書き換えます。

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}$

ステップ 3.2.3.2.5

$a x$ を $1$ で割ります。

$- \frac{a}{x^{2} + a x}$

ステップ 3.3

$x$ を $x^{2} + a x$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{a}{x \cdot x + a x}$

ステップ 3.3.2

$x$ を $a x$ で因数分解します。

$- \frac{a}{x \cdot x + x a}$

ステップ 3.3.3

$x$ を $x \cdot x + x a$ で因数分解します。

$- \frac{a}{x (x + a)}$

微分積分 例

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