微分積分例

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 1.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 3} d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{- 3}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{2 x^{2}}$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

ステップ 3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

ステップ 3.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

ステップ 5.2

$\int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{3}} d x$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 7.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{- 3} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$e$ および $1$ で $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ の値を求めます。

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

ステップ 9.2

$e$ および $1$ で $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ の値を求めます。

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 9.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 9.3.3

$e^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 9.3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

ステップ 9.3.5

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

ステップ 9.3.6

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$

ステップ 9.3.7

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ を掛けます。

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 9.3.8

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ と $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 9.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \ln (e) + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 9.3.10

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- \ln (e) + \frac{2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 9.3.11

$e^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- \ln (e) + \frac{e^{2} \cdot 2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 9.3.12

$2$ を $e^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 \cdot e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 9.3.13

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.13.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 9.3.13.2

$e^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{- \ln (e) + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{- 1 \cdot 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}}) + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.4

$e^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.4.1

$- \frac{1}{2 e^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{2 e^{2}} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.4.2

$e^{2}$ を $2 e^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.4.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.5

$e^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- 1 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{- 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.10.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{- 3}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.1.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- 3 + e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.3

$\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.3.1

$\frac{- 3 + e^{2}}{2}$ に $\frac{1}{2 e^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 3 + e^{2}}{2 (2 e^{2})} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

ステップ 10.1.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{0}{2}$

ステップ 10.1.5

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + 0$

ステップ 10.2

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

10進法形式：

$0.14849853 \dots$

微分積分 例

微分積分例