微分積分例

$\int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\int \cos (x) \cos (x) d x$

ステップ 2

$u = \cos (x)$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (x) \sin (x) - \int \sin (x) (- \sin (x)) d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin (x) (\sin (x)) d x$

ステップ 4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) \sin (x) - - \int {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{2} (x) d x$

ステップ 8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x) \sin (x) + 1 \int \sin^{2} (x) d x$

ステップ 9

$\int \sin^{2} (x) d x$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) \sin (x) + \int \sin^{2} (x) d x$

ステップ 10

$1$ を掛けます。

$\cos (x) \sin (x) + \int \sin^{2} (x) \cdot 1 d x$

ステップ 11

$u = \sin^{2} (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x - \int x \sin (2 x) d x$

ステップ 12

$\int \cos^{2} (x) d x$ を解くと、 $\int \cos^{2} (x) d x$ = $\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2} + C$

ステップ 13

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2} + C$ を $\frac{1}{2} (\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x) + C$

微分積分 例