微分積分例

$\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 1$ および $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 2.5.2

$2$ を ${(x + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 4.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \cdot 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 4.5.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 ((x + 1) (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.3.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.6

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.7.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.7.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.7.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.7.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 4 (x \cdot x) + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.7.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.8

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.9

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x^{2} + 2) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} (x + 1) + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.10.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.10.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.10.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.10.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.10.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.10.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.10.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.1.10.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.2

$2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 0 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.2.2

$4 x^{2} + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.3

$4 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.2.4

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2$ を $2 x^{2} + 4 x + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2}) + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.3.1.2

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.3.1.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.3.1.5

$2$ を $2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.3.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 5.3.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.3.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.4

${(x + 1)}^{2}$ と ${(x + 1)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

${(x + 1)}^{2}$ を $2 {(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

${(x + 1)}^{2}$ を ${(x + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例