微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sin (t)$ とします。次に $d x = 3 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $3 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を $- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ を ${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

$3 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\int d t$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$t + C$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$\arcsin (\frac{x}{3}) + C$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\arcsin (\frac{1}{3} x) + C$

微分積分 例

微分積分例