微分積分例

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ とします。次に $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.1.2.1

積の法則を $\frac{3 \tan (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.2.2

積の法則を $3 \tan (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を $9 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1 + \tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.5

項を並べ替えます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.7

$9 \sec^{2} (t)$ を ${(3 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{3 \sec (t)}$ に $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ をかけます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{6 \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.3

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

$3$ を $3 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{6 \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$3$ を $6 \sec (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{3 (2 \sec (t))} d t$

ステップ 2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 (2 \sec (t))} d t$

ステップ 2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec^{2} (t)}{2 \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.4

$\sec^{2} (t)$ と $\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

$\sec (t)$ を $\sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$\sec (t)$ を $2 \sec (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t)}{2} d t$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1.27933953} \sec (t) d t$

ステップ 4

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{1.27933953}$

ステップ 5

$1.27933953$ および $0$ で $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

ステップ 6.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + 0 |))$

ステップ 6.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$

ステップ 6.5

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})}{2}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ は約 $6.8134355$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{| 1 |})}{2}$

ステップ 7.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{1})}{2}$

ステップ 7.3

$\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

10進法形式：

$0.95944823 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例