微分積分例

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 3

$u = - x^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = - x^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- x^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.1.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 3.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.1.6

公分母の分子をまとめます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 3.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 3.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 3.1.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2

$u = - x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 3.4

$u = - x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

ステップ 4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

ステップ 5

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 7

$- t^{\frac{1}{2}}$ および $- 1$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

ステップ 8

極限を求めます。

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ステップ 8.1

極限を求めます。

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ステップ 8.1.1

$- 2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

ステップ 8.1.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

ステップ 8.2

指数 $- t^{\frac{1}{2}}$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ が $0$ に近づきます。

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

ステップ 8.3

極限を求めます。

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ステップ 8.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $e^{- 1}$ の極限値を求めます。

$- 2 (0 - e^{- 1})$

ステップ 8.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

ステップ 8.3.2.2

$0$ から $\frac{1}{e}$ を引きます。

$- 2 (- \frac{1}{e})$

ステップ 8.3.2.3

$- 2 (- \frac{1}{e})$ を掛けます。

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ステップ 8.3.2.3.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \frac{1}{e}$

ステップ 8.3.2.3.2

$2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$\frac{2}{e}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{e}$

10進法形式：

$0.73575888 \dots$

微分積分 例

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