微分積分例

$y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

ステップ 1

$y'$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

ステップ 1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 1.3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 1.3.2.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x}$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 e^{2 x}$

ステップ 2

$y''$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分係数を設定します。

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{2 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.4

括弧を削除します。

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 2.8

$4$ に $1$ をかけます。

$y'' = 4 e^{2 x}$

ステップ 3

$y'''$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

微分係数を設定します。

$y''' = \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{2 x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$y''' = 4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y''' = 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y''' = 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y''' = 4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.4

括弧を削除します。

$y''' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y''' = 4 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$2$ に $4$ をかけます。

$y''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y''' = 8 e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 3.8

$8$ に $1$ をかけます。

$y''' = 8 e^{2 x}$

ステップ 4

$y''''$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

微分係数を設定します。

$y'''' = \frac{d}{d x} [8 e^{2 x}]$

ステップ 4.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 e^{2 x}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$y'''' = 8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 4.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y'''' = 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'''' = 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y'''' = 8 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 4.4

括弧を削除します。

$y'''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'''' = 8 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6

$2$ に $8$ をかけます。

$y'''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'''' = 16 e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 4.8

$16$ に $1$ をかけます。

$y'''' = 16 e^{2 x}$

ステップ 5

$y'''''$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

微分係数を設定します。

$y''''' = \frac{d}{d x} [16 e^{2 x}]$

ステップ 5.2

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 e^{2 x}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$y''''' = 16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 5.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y''''' = 16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 5.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y''''' = 16 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 5.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y''''' = 16 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 5.4

括弧を削除します。

$y''''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y''''' = 16 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.6

$2$ に $16$ をかけます。

$y''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y''''' = 32 e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 5.8

$32$ に $1$ をかけます。

$y''''' = 32 e^{2 x}$

ステップ 6

$y''''''$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

微分係数を設定します。

$y'''''' = \frac{d}{d x} [32 e^{2 x}]$

ステップ 6.2

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 e^{2 x}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$y'''''' = 32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 6.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y'''''' = 32 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'''''' = 32 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y'''''' = 32 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.4

括弧を削除します。

$y'''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'''''' = 32 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.6

$2$ に $32$ をかけます。

$y'''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'''''' = 64 e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 6.8

$64$ に $1$ をかけます。

$y'''''' = 64 e^{2 x}$

ステップ 7

$y'''''''$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

微分係数を設定します。

$y''''''' = \frac{d}{d x} [64 e^{2 x}]$

ステップ 7.2

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $64 e^{2 x}$ の微分係数は $64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$y''''''' = 64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 7.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y''''''' = 64 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y''''''' = 64 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y''''''' = 64 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7.4

括弧を削除します。

$y''''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y''''''' = 64 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.6

$2$ に $64$ をかけます。

$y''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y''''''' = 128 e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 7.8

$128$ に $1$ をかけます。

$y''''''' = 128 e^{2 x}$

ステップ 8

$y''''''''$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

微分係数を設定します。

$y'''''''' = \frac{d}{d x} [128 e^{2 x}]$

ステップ 8.2

$128$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $128 e^{2 x}$ の微分係数は $128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$y'''''''' = 128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 8.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y'''''''' = 128 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'''''''' = 128 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y'''''''' = 128 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8.4

括弧を削除します。

$y'''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 8.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'''''''' = 128 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.6

$2$ に $128$ をかけます。

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 8.8

$256$ に $1$ をかけます。

$y'''''''' = 256 e^{2 x}$

ステップ 9

与えられた微分方程式に代入します。

$16 e^{2 x} + 256 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

ステップ 10

$16 e^{2 x}$ と $256 e^{2 x}$ をたし算します。

$272 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

ステップ 11

与えられた解は与えられた微分方程式を満たしません。

$y = e^{2 x}$ は $y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$ の解ではありません

微分積分 例

微分積分例