微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

ステップ 1.1.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $2^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

ステップ 1.1.2.3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

ステップ 1.1.2.3.2

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{\infty - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

ステップ 1.1.2.3.2.2

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + lim_{x \to \infty} 7}$

ステップ 1.1.3.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $2^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 7}$

ステップ 1.1.3.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{\infty}{\infty + 7}$

ステップ 1.1.3.4

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.1.3.5

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2^{x} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

ステップ 1.3.3

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

ステップ 1.3.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

ステップ 1.3.5

$2^{x} \ln (2)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $2^{x} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]}$

ステップ 1.3.7

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [7]}$

ステップ 1.3.8

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

ステップ 1.3.9

$2^{x} \ln (2)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

ステップ 1.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

ステップ 1.4.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 1.4.2

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} 1$

ステップ 2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$1$

微分積分 例

微分積分例