微分積分例

$y = x^{2 x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2 x})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f = x$ および $g = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d y} [x] (2 x \cdot x^{2 x - 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

ステップ 3.2

指数を足して $x$ に $x^{2 x - 1}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$x^{2 x - 1}$ を移動させます。

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x)) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

ステップ 3.2.2

$x^{2 x - 1}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x^{1})) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

ステップ 3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x - 1 + 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

ステップ 3.2.3

$2 x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.3.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x + 0}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

ステップ 3.2.3.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

ステップ 3.4

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$x' (2 x^{2 x}) + 2 \frac{d}{d y} [x] (x^{2 x} \ln (x))$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' (2 x^{2 x}) + 2 x' (x^{2 x} \ln (x))$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$ として書き換えます。

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$

ステップ 5.2

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x' = 1$

ステップ 5.2.2

$2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x'$ の因数を並べ替えます。

$2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

ステップ 5.3

$x' x^{2 x}$ を $2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x' x^{2 x}$ を $2 x' x^{2 x}$ で因数分解します。

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

ステップ 5.3.2

$x' x^{2 x}$ を $x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ で因数分解します。

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

ステップ 5.3.3

$x' x^{2 x}$ を $x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ で因数分解します。

$x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$

ステップ 5.4

$x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ の各項を $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ の各項を $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ で割ります。

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$x^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

ステップ 5.4.2.2

$2 + \ln (x^{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

ステップ 5.4.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

微分積分 例

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