微分積分例

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

総和則では、 $\sin (x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 8

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 9.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.2

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.2.1.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.3

$- \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.2.1.3.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.4

$- \cos (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.1.4.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.2

$\sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.2.3

$\cos (x) \sin (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.3

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.4

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.5

$- 1$ を $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.7.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.7.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.7.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.7.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.8

分配法則（FOIL法）を使って $(- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.9.1.1

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.9.1.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9.1.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9.1.2

$- \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.9.1.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9.1.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9.2

$- \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.9.3

$- \cos (x) \sin (x)$ から $\cos (x) \sin (x)$ を引きます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.10

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.11

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.12

$- 1$ を $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.13

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.1.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.2.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.4

$- 1$ を $- 2 \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.5

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.6

$- 1$ を $- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.7

$- 1$ を $\sin (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.8

$- 1$ を $- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.9

$- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ を $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

ステップ 10.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例