微分積分例

$y'''' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

ステップ 1

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

ステップ 1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{- 2 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.3.3

微分します。

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ステップ 1.3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 1.3.3.4

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 6 e^{- 2 x}$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

ステップ 2

$y''$ を求めます。

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ステップ 2.1

微分係数を設定します。

$y'' = \frac{d}{d x} [- 6 e^{- 2 x}]$

ステップ 2.2

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 e^{- 2 x}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$y'' = - 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$y'' = - 6 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'' = - 6 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$y'' = - 6 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.4

括弧を削除します。

$y'' = - 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.5

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'' = - 6 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$y'' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'' = 12 e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 2.8

$12$ に $1$ をかけます。

$y'' = 12 e^{- 2 x}$

ステップ 3

$y'''$ を求めます。

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ステップ 3.1

微分係数を設定します。

$y''' = \frac{d}{d x} [12 e^{- 2 x}]$

ステップ 3.2

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 e^{- 2 x}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$y''' = 12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$y''' = 12 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y''' = 12 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$y''' = 12 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 3.4

括弧を削除します。

$y''' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 3.5

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y''' = 12 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$- 2$ に $12$ をかけます。

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 3.8

$- 24$ に $1$ をかけます。

$y''' = - 24 e^{- 2 x}$

ステップ 4

$y''''$ を求めます。

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ステップ 4.1

微分係数を設定します。

$y'''' = \frac{d}{d x} [- 24 e^{- 2 x}]$

ステップ 4.2

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 e^{- 2 x}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$y'''' = - 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 4.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$y'''' = - 24 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 4.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'''' = - 24 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$y'''' = - 24 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 4.4

括弧を削除します。

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 4.5

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6

$- 2$ に $- 24$ をかけます。

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 4.8

$48$ に $1$ をかけます。

$y'''' = 48 e^{- 2 x}$

ステップ 5

与えられた微分方程式に代入します。

$48 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ に $2$ をかけます。

$48 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

ステップ 6.2

$48 e^{- 2 x}$ と $6 e^{- 2 x}$ をたし算します。

$54 e^{- 2 x} = 0$

ステップ 7

与えられた解は与えられた微分方程式を満たしません。

$y = 3 e^{- 2 x}$ は $y'''' + 2 y = 0$ の解ではありません

微分積分 例

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