微分積分例

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

ステップ 2

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ を展開します。

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\ln (x))$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\ln (x))$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (x) \ln (\ln (x))$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (\ln (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.3.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.4

項を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{1}{\ln (x)}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.4.2

$\ln (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.6

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x}$

ステップ 3.2.7

$\ln (\ln (x))$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}) {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{1}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x}$ と ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ をまとめます。

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

ステップ 5.3

$\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ と ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ をまとめます。

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.4

$\frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)} \ln (\ln (x))}{x}$

微分積分 例

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