微分積分例

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

ステップ 2

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 2.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

ステップ 2.2

右側を微分します。

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ステップ 2.2.1

$\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

ステップ 2.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e^{- x} + x e^{- x}$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

ステップ 2.2.3.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

ステップ 2.2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{- x} + x e^{- x}$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

ステップ 2.2.4

和の法則を使って微分します。

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ステップ 2.2.4.1

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ に $\frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $e^{- x} + x e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 2.2.5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $- x$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 2.2.5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 2.2.5.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 2.2.6

微分します。

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ステップ 2.2.6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 2.2.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 2.2.6.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.6.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 2.2.6.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 2.2.6.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 2.2.7

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.8

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $- x$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ は $a^{u_{4}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.8.3

$u_{4}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.9

微分します。

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ステップ 2.2.9.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.9.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.9.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.9.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.9.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.9.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

ステップ 2.2.9.5

項を簡約します。

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ステップ 2.2.9.5.1

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

ステップ 2.2.9.5.2

$- e^{- x}$ と $e^{- x}$ をたし算します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}) + 0)$

ステップ 2.2.9.5.3

$x (- e^{- x})$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}))$

ステップ 2.2.9.5.4

$x$ と $\frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x})$

ステップ 2.2.9.5.5

$\frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

ステップ 2.2.10

簡約します。

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ステップ 2.2.10.1

$e^{- x}$ を $e^{- x} + x e^{- x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

ステップ 2.2.10.1.2

$e^{- x}$ を $x e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

ステップ 2.2.10.1.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

ステップ 2.2.10.2

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.10.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

ステップ 2.2.10.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

ステップ 2.2.10.3

$- \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$

ステップ 3

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

ステップ 4

右側を簡約します。

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ステップ 4.1

$\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{1 + x}$

ステップ 4.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{1 + x}$

微分積分 例

微分積分例