微分積分例

$\int_{1}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 2

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$e^{- x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x^{2}$ で置き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

ステップ 2.1.4.2

$- 2 e^{- x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

ステップ 2.2

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = e^{- 1}$

ステップ 2.3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

ステップ 2.4

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

ステップ 2.6

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$e^{- t^{2}}$ および $\frac{1}{e}$ で $- \frac{1}{2} u_{2}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$e^{- t^{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{e}$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

極限を求めます。

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ステップ 6.1.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e}$

ステップ 6.1.2

$\frac{1}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e}$

ステップ 6.2

指数 $- t^{2}$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- t^{2}}$ が $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e}$

ステップ 6.3

極限を求めます。

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ステップ 6.3.1

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{1}{2 e}$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e}$

ステップ 6.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e}$

ステップ 6.3.2.1.2

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2 e}$

ステップ 6.3.2.2

$0$ と $\frac{1}{2 e}$ をたし算します。

$\frac{1}{2 e}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2 e}$

10進法形式：

$0.18393972 \dots$

微分積分 例

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