微分積分例

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 1

$0$ で積分を分割し、極限の和として書きます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{x^{2} + 1} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x)]_{t}^{0}$ です。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4

$0$ および $t$ で $\arctan (x)$ の値を求めます。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 5.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x)]_{0}^{t}$ です。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

ステップ 7

$t$ および $0$ で $\arctan (x)$ の値を求めます。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

ステップ 8

極限を求めます。

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ステップ 8.1

$t$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

ステップ 8.2

$t$ が $- \infty$ に近づくと定数である $\arctan (0)$ の極限値を求めます。

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

ステップ 8.3

$t$ が $- \infty$ に近づくときの極限は $- \frac{π}{2}$ です。

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

ステップ 8.4

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

ステップ 8.5

$t$ が $\infty$ に近づくときの極限は $\frac{π}{2}$ です。

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

ステップ 8.6

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $\arctan (0)$ の極限値を求めます。

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

ステップ 8.7

答えを簡約します。

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ステップ 8.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.7.1.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

ステップ 8.7.1.2

$\frac{π}{2}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

ステップ 8.7.1.3

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

ステップ 8.7.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

ステップ 8.7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + π}{2}$

ステップ 8.7.3

$π$ と $π$ をたし算します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$π$

10進法形式：

$3.14159265 \dots$

微分積分 例

微分積分例