微分積分例

$h (x) = (x^{2} - 2) (x^{3} - 3 x)$ , $(- 2, - 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 2$ と $y = - 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2} - 2$ および $g (x) = x^{3} - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x] + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$(x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

ステップ 1.2.3

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3 \cdot 1) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

ステップ 1.2.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

ステップ 1.2.6

総和則では、 $x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.2.8

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (2 x + 0)$

ステップ 1.2.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (2 x)$

ステップ 1.2.9.2

$2$ を $x^{3} - 3 x$ の左に移動させます。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + 2 \cdot (x^{3} - 3 x) x$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (2 x^{3} + 2 (- 3 x)) x$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2}) + (x^{2} - 2) \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.4

分配則を当てはめます。

$x^{2} (3 x^{2}) - 2 (3 x^{2}) + (x^{2} - 2) \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.5

分配則を当てはめます。

$x^{2} (3 x^{2}) - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{2} x^{2} \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 2} \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.2

$3$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$3 \cdot x^{4} - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$3 x^{4} - 6 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.4

$- 3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$3 x^{4} - 6 x^{2} - 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.5

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{4} - 6 x^{2} - 3 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.6

$- 6 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.7

$x$ を $1$ 乗します。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{1 + 3} + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.9

$1$ と $3$ をたし算します。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} + 2 (- 3 x) x$

ステップ 1.3.6.10

$- 3$ に $2$ をかけます。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.11

$x$ を $1$ 乗します。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 (x^{1} x)$

ステップ 1.3.6.12

$x$ を $1$ 乗します。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 (x^{1} x^{1})$

ステップ 1.3.6.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 x^{1 + 1}$

ステップ 1.3.6.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 x^{2}$

ステップ 1.3.6.15

$3 x^{4}$ と $2 x^{4}$ をたし算します。

$5 x^{4} - 9 x^{2} + 6 - 6 x^{2}$

ステップ 1.3.6.16

$- 9 x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 6$

ステップ 1.4

$x = - 2$ で微分係数を求めます。

$5 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$5 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

ステップ 1.5.1.2

$5$ に $16$ をかけます。

$80 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

ステップ 1.5.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$80 - 15 \cdot 4 + 6$

ステップ 1.5.1.4

$- 15$ に $4$ をかけます。

$80 - 60 + 6$

ステップ 1.5.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$80$ から $60$ を引きます。

$20 + 6$

ステップ 1.5.2.2

$20$ と $6$ をたし算します。

$26$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $26$ と与えられた点 $(- 2, - 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 4) = 26 \cdot (x - (- 2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$26 \cdot (x + 2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 4 = 0 + 0 + 26 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 4 = 26 x + 26 \cdot 2$

ステップ 2.3.1.4

$26$ に $2$ をかけます。

$y + 4 = 26 x + 52$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$y = 26 x + 52 - 4$

ステップ 2.3.2.2

$52$ から $4$ を引きます。

$y = 26 x + 48$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例