微分積分例

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{x + 3}{x^{2} + x - 6}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x + 3}{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x + lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 3}{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x + 3}{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.3

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x^{2} + lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x - lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 6}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x - lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 6}$

ステップ 1.1.3.3

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 1.1.3.4

すべての $x$ に $- 3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 3)}^{2} + lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 3)}^{2} - 3 - 1 \cdot 6}$

ステップ 1.1.3.5

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{9 - 3 - 1 \cdot 6}$

ステップ 1.1.3.5.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{0}{9 - 3 - 6}$

ステップ 1.1.3.5.2

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{6 - 6}$

ステップ 1.1.3.5.3

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{x + 3}{x^{2} + x - 6} = lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} + x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{1}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

ステップ 1.3.9

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{1}{2 x + 1 + 0}$

ステップ 1.3.10

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{1}{2 x + 1}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 1}{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 2 x + 1}$

ステップ 2.2

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 2 x + 1}$

ステップ 2.3

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 2 x + lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 1}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2 lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x + lim_{x \to {(- 3)}^{-}} 1}$

ステップ 2.5

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2 lim_{x \to {(- 3)}^{-}} x + 1}$

ステップ 3

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{1}{- 6 + 1}$

ステップ 4.1.2

$- 6$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{- 5}$

ステップ 4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{5}$

10進法形式：

$- 0.2$

微分積分 例

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