微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

ステップ 1.2

$- \frac{x^{2}}{2 x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 x - 1) (2 x + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ に $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

ステップ 1.3.2

$\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ に $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 1.3.3

$(2 x - 1) (2 x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$x^{2}$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.3.2

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.3.3

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.3.4

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.9

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.11

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.11.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.11.2.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.11.2.3

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} - 2 x^{3} + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.11.3

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.11.4

$0$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.11.5

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.2.12

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}$

ステップ 2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.4.2

$x$ を移動させます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.8.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.8.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.2.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.3.8.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}$

ステップ 2.1.3.8.3

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}$

ステップ 2.1.3.8.4

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}$

ステップ 2.1.3.9

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.1.3.10

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 2 + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3.9

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.3.10

$2$ を $2 x + 1$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} (2 x - 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.3

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.8

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.9

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \cdot 2 + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.10

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 \cdot x^{2} + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.4.11

$2$ を $2 x - 1$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.4

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.5

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.6

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.7

$2 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.9

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x \cdot x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.10

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x)) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.11

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x^{1})) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{1 + 1}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{2}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.14

$4$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.15

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.16

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.17

$- 2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 6 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.18

$6 x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0 + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.19

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.5.6.20

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

ステップ 2.3.6

$f (x) = 2 x + 1$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

ステップ 2.3.7

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

ステップ 2.3.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

ステップ 2.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

ステップ 2.3.10

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

ステップ 2.3.11

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

ステップ 2.3.12

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

ステップ 2.3.13

$2$ を $2 x + 1$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

ステップ 2.3.14

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 2.3.15

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 2.3.16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 2.3.17

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 2.3.18

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}$

ステップ 2.3.19

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}$

ステップ 2.3.20

$2$ を $2 x - 1$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}$

ステップ 2.3.21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}$

ステップ 2.3.21.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.21.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.21.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.21.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.21.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.21.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x - 2}$

ステップ 2.3.21.3.5

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 2 - 2}$

ステップ 2.3.21.3.6

$2$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 0}$

ステップ 2.3.21.3.7

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x}$

ステップ 2.4

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{8 x}$

ステップ 2.4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$4$ を $8 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{4 (2 x)}$

ステップ 2.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 (2 x)}$

ステップ 2.4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

ステップ 2.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

ステップ 2.4.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$

ステップ 3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $\frac{1}{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例