微分積分例

$y = x^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (x^{\frac{1}{x}})$

ステップ 2

右側を展開します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$\ln (y) = \frac{1}{x} \ln (x)$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\ln (y) = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

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ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 3.2

右側を微分します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{\ln (x)}{x}$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.2.4.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.4.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.2.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} x^{\frac{1}{x}}$

ステップ 5

右側を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ と $x^{\frac{1}{x}}$ をまとめます。

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 5.2

$x^{\frac{1}{x}}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$x^{2}$ を $(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2}}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$1$ を掛けます。

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}}{1}$

ステップ 5.2.2.4

$(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$ を $1$ で割ります。

$y' = (1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$y' = 1 x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

ステップ 5.4

$x^{\frac{1}{x} - 2}$ に $1$ をかけます。

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

ステップ 5.5

$x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$ の因数を並べ替えます。

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - x^{\frac{1}{x} - 2} \ln (x)$

微分積分 例

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